Ik ben in mijn vroege jaartjes op het JVO niet altijd gemotiveerd geweest en tegenwoordig ben ik ook niet elke keer gemotiveerd, dat hangt er van af.
Maar om te beginnen moet ik zeggen dat het kiezen van wiskunde B en daarbij ook nog wiskunde D, mijn motivatie voor het vak wiskunde in zijn geheel vergroot heeft.
In de onderbouw, vond ik wiskunde niet leuk. Ik maakte dan wel telkens braaf mijn huiswerk. Maar was niet blij met mijn cijfers, het tempo waarmee de stof werd behandeld en door de klas kon ik niet goed opletten tijdens de uitleg, hierdoor onstond dat ik gedemotiveerd werd. Ik had dus nog duidelijk een achterstand bij wiskunde en begreep nog weinig. Dit kwam ook door het slechte onderwijs dat mij is gegeven op de basisschool. Nog steeds heb ik moeite met hoofdreken, omdat daar nooit heel erg veel mee gedaan is op de basisschool. En om eerlijk te zijn is er over het vak "rekenen"(in die tijd) weinig aandacht besteed. Dus zoals ik al zei, op de middelbare school in de onderbouw had ik moeite de stof bij te houden. Ik maakte altijd de sommen, maar dacht er nooit bij na, ik ging dus nooit echt een logische verklaring ervoor zoeken. Ik loste alle sommen op als een soort machine. Toen we voor de profielkeuze een beoordelig van de docenten kregen voor hoe zij vonden dat de leerlingen presteerden voor hun vak. Bleek dat wiskunde B en D allebij een optie waren voor mij (wiskunde B was beoordeeld met ++ en wiskunde D met +). Gezien de omstandigheden heb ik voor beiden gekozen. In de 4e , toen ik wiskunde B had, begonnen steeds meer lampjes te branden en ging ik meer en meer nadenken bij de sommen, en kon ik mezelf inbeelden hoe de x^2 er uit ziet en wat er nou precies bedoeld wordt met een helling. Ik kon zelfs heel makkelijk de wiskunde B toepassen op de natuurkunde, waar ik vele voordelen aan over heb gehouden. Maar ook een belangrijk aspect voor waarom ik wiskunde B zo leuk vond was, omdat er logica achter zat. Het begon dan allemaal wel met sommetjes. Maar alles wat je berekent is ontzettend logisch. En daardoor wordt het toch een stuk leuker, als je erachter komt dat het klopt. En dan wordt het helemaal leuk als ik erachter kom dat het op meerdere manieren kan kloppen. Na de simpele sommetjes komen de meer puzzelachtige sommen die een soort raatseltjes zijn eigenlijk. Hiervoor moest je echt je hersens gebruiken, en daardoor begon ik wiskunde huiswerk zelfs bijna leuk te vinden.
Nu in de 5e gaat het helaas niet meer zo makkelijk allemaal. Dat komt, omdat er (bijvoorbeeld bij primitieven) zo ontzettend veel regels zijn dat ik het niet allemaal meer kan onthouden. Zo wordt het vaak te lastig om helder te kunnen nadenken bij een som. Bijvoorbeeld: bij het primitieveren van een moeilijke arcsin(iets meilijks met x) . Hierbij moet ik eerst gaan kijken op welke manier hij anders geschreve kan worden, daarna op welke manier hij geprimietiveerd kan worden en dan ook nog eens rekening houden met alle regeltjes.... Dit wordt soms wat te veel voor mij.
Maar het feit dat ik wiskunde D heb, motiveerd op de een of andere manier weer om wiskunde B beter te doen. Omdat bij wiskunde D de wiskunde bijna academisch is, leer ik op een andere wijze te denken en makkelijker wiskundige informatie op te nemen. Bovendien begrijp ik moeilijkere stof veel makkelijker bij wiskunde B dan voordat ik wiskunde D had.
Helaas is wiskunde D wel vaak een niveautje te hoog voor mij, natuurlijk realiseer ik me dat er maar een heel klein percentage in Nederland is die wiskunde D doet, waarvan ik er een ben. Toch voel ik mijzelf een beetje als het dommertje van de klas. Dit komt omdat ik veel moeite heb met de stof begrijpen en omdat de uitleg langzamer tot mij doordringt (ik moet er langer over na te denken om het te begrijpen waar het uberhaupt over gaat). Maar ondanks dat ik zo traag ben van begrip, begrijp ik uiteindelijk de stof van wiskunde D wel. En zoals ik al eerder zij heeft het mij zekerder gemaakt in het vak wiskunde B.
De reden dat ik wiskunde B en D heb gekozen? Ik heb al heel lang geleden het idee gehad om later architect te worden. Dit idee ben ik lange tijd vergeten (laten we zeggen vanaf dat ik naar het JVO kwam). Pas toen ik vorig jaar naar studies begon te kijken, kwam ik erachter dat ik bouwkunde heel erg interessant leek, en toen moest ik weer aan de toekomstdroom van mijn verleden denken (architect). En voor bouwkunde wordt in ieder geval wiskunde B vereist en zelfs wiskunde D wordt erg geaprecierd als de toekomstige men dat heeft gehad op de middelbare school. Ik moet wel eerijk bekennen dat ik hieraan niet dacht tijdens mijn profielkeuze. Nu mag ik dus wel spreken van geluk dat ik wiskunde B en D heb gekozen want dat kan nog heel wat voordelen hebben. Bovendien is zowel wiskunde D en B erg handig in de natuurkunde, de vectoren bijvoorbeeld en de stijlheid van grafieken (differentiëren).
Maar ik heb wiskunde D niet gekozen omdat het zo mooi is, dat heb ik wel gedaan bij wiskunde B. Want ik vond al die regeltjes (zoals ik al eerder heb uitgelegd) zo fijn en dat je op verschillende manieren op een uitkomst kan komen.
Wiskunde A vind ik niet logisch. Kansrekening is daarom ook absoluut niet mijn ding. Ik vind het bovendien ook tamelijk onzinnig om een kans van iets uit te rekenen. Want ookal is er een kans van 75% dat er iets gebeurd, dan moet je toch altijd rekening houden met de 25% dat het niet gebeurd? Dus je kan maar beter altijd rekening houden dat hetgene wat je wilt niet gebeurd, in plaats van goede hoop te halen uit een kansrekening die maar liefst aangeeft dat de kans op geluk in je leven (bijvoorbeeld) 55% is. Want als je rekening houdt met een ongewenste uitkomst van iets, zul je een verdraagzamer leven hebben (althans zo zie ik het dan).
In de onderbouw was mijn reflectie als volgt;
ik presteerde matig op toetsen, maar kon zelf ook wel zien dat dat niet aan mij kon liggen. Het was vrij hopeloos realiseer ik me nu: en een slecht onderwijs op de basisschool, op de middelbare school kon ik vaak niet meedoen met de uitleg omdat de klas te rumoerig was en ik had een houding van "alle sommen oplossen aan de hand van de regeles". Het laatste aspect kwam ik in de 4e achter (toen ik wiskunde B kreeg) en heb dit dus meteen verbeterd. Met mooie resultaten als gevolg. Bovendien heb ik geen last meer van een achterstand.
In de 5e heb ik niet hele hoge cijfers gehaald voor wiskunde B, vaak 6'jes, soms een uitschieter naar de 7, maar ook vaak genoeg een 4 of 5. Lange tijd was mij dit een raadsel - deze matige cijfers- ik deed telkens mijn huiswerk, begreep de theorie helemaal en tijdens het oefenenen voor de toets kon ik ook alles. Alleen tijdens de toets leek het net of ik dicht klapte: ik kwam niet meer uit de sommen. Wat de reden is, is iets waar ik nooit over nadacht, maar wat ik automatisch altijd deed. Ik hield namelijk het antwoordenboek naast mijn schrift terwijl ik de sommen maakte. Niet dat ik het helemaal overschreef hoor! Maar telkens wanneer ik mij niet zeker voelde of ik wel de juiste stap nam, kon ik gelijk in mijn antwoordenboek kijken of het klopte. En zo ben ik meer en meer afhankelijk geworden van mijn antwoordenboek.
Tegenwoordig probeer ik dat af te dwingen door eerst de hele som te maken en echt dan pas te gaan kijken in het antwoordenboek of dit klopt. En poef! De 7'ens komen terug!
woensdag 25 mei 2011
De Yule-Simpson paradox
De Yule-Simpson paradox houdt in dat men niet zomaar blindelings moet vertrouwen op statistieken. Deze paradox is bekend gemaakt door Simpson en Yule die beiden hun bijdrage aan het ontdekken van de paradox hebben geleverd.
Ik ga de pardox aan de hand van een voorbeeld op rekenkundige en niet-rekenkundige wijze uitleggen. Het voorbeeld dat in het artikel wordt gegeven gaat over het aantal doodstraffen die worden toegekent aan blanke en zwarte mensen. Ik zal, om het interessant te houden, een ander voorbeeld geven. Maar eerst vertel ik in het kort wat het voorbeeld in het artikel inhield:
Zoals ik al zei gaat het hier over het aantal doodstraffen dat wordt toegekend aan negeroïde mensen in vergelijking met het aantal doodstraffen dat werd toegekend aan blanke mensen. Wat bleek was dat de meeste doodstraffen werden toegekend aan blanken, met maar liefst 2,4% meer doodstraffen voor blanken dan voor de negeroïde mensen (want een schikbarend verschil...). Maar volgens de heer M. Coon kan men, als je meerdere gegevens in tabellen zet, erachter komen dat de conclusie die je eerder hebt getrokken, dat er GEEN discriminatie optreed, niet helemaal klopt! Wat men namelijk niet vermeld in tabel (1) is namelijk het aspect van de huidskleur van de verdachte en de huidskleur van het slachtoffer, en ook niet die 2 in verhouding met elkaar. Wanneer men dit wel vermeld kunnen we tot de conclusie komen dat er wel degelijk sprake is van discriminatie: als er een zwart slachtoffer is gevallen, krijgt de blanke (als verdachte) nooit doodstraf, maar de zwarte (verdachte) wel vaker. En als het om een blanke slachtoffer gaat, wordt veel vaker de doodstraf gegeven (maakt niet uit welke huidskleur de dader heeft) dan als een zwarte het slachtoffer is.
Hiervoor kan men twee redenen geven: 1. omdat er bij een zwart slachtoffer dus minder vaak de doodstraf wordt gegeven (al is de dader zwart of blank)
2. zwarte verdachten zijn vaker betrokken bij een zaak met een zwart slachtoffer.
De wiskundige uitleg van een Yule-Simpson paradox:
het gaat er in ieder geval om dat als : a/b>c/d en e/f>g/h, er NIET altijd hoeft te gelden dat: a+e/b+f > b+g/d+h.
Nu geef ik een ander voorbeeld met andere cijfers van een Yule-Simpson paradox:
Stel dat er wordt gekeken naar het aannemen van babysitters in België: babysitters van Nederlandse afomst of van Poolse afkomst. In een krant staat de volgende tabel (die dus een Yule-Simpson paradox is) over dit onderwerp:
Afkomst Babysitter: Aangenomen:
Ja Nee totaal % wel aangenomen
Nederlands 80 617 696 11,2%
Pools 66 692 756 8,8%
totaal 146 1309 1452 9,8%
Uit deze tabel kan men concluderen dat de Nederlandse babysitters meer kans hebben om aangenomen te worden dan de Poolse babysitters bij vermende kleinde Belgische kindekes.
Maar toen opeens werd er, na een paar jaar, eindelijk weer een regering gevormd, en publiceerde de nieuwe regering de volgende tabellen over de babysitters van Nederlandse en Poolse afkomst:
Bij deze tabel zijn de kinderkes Nederlands waarop gepast moet worden (waarschijnlijk allemaal ex-Nederlanders die verhuisd zijn naar België, omdat er dan toch eindelijk een regering is in België en in Nederland kwam Geert Wilders aan de macht).
Afkomst Babysitter: Aangenomen:
Ja Nee totaal % wel aangenomen
Nederlands 80 560 638 12,3%
Pools 60 244 302 19,3%
totaal 140 804 940 14,5%
En wat we nu zien is erg merkwaardig: de ouders van Nederlandse afkomst nemen eerder een Poolse babysitter aan voor hun kind, dan een Nederlandse babysitter.
De volgende tabel toont aan wanneer de ouders Pools zijn en naar een babysitter zoeken:
Afkomst Babysitter: Aangenomen:
Ja Nee totaal % wel aangenomen
Nederlands 0 29 29 0%
Pools 3 224 227 1,3%
totaal 3 253 256 1,2%
En wat we hier zien is dat een gezin met Poolse ouders veel eerder een Pool aanneemt dan een Nederlander.
Vervolgens de tabel waarin het om de afkomst van het gezin gaat en de kans dat er uberhaupt wel een babysitter wordt aangenomen:
Afkomst ouders: Zullen aannemen:
Ja Nee totaal % wel aangenomen
Nederlands 138 802 938 14,5%
Pools 7 508 514 1,2%
totaal 145 1310 1452 9,8%
Dus ouders van Nederlandse afkomst zullen uberhaupt sneller een babysitter dan een kieskeurige Poolse familie, die wat zuiniger op hun kinderen zijn. Als we dan terugkijken naar de allereerste tabel zien we dus ook dat een Nederlander wel eerder aangenomen zal worden als babysitter, maar dit is dus (blijkbaar uit tabel 2 &3) alleen maar zo omdat Nederlanders graag Nederlanders aannemen, en sowieso sneller een babysitter aannemen. Een Poolse familie, mag dan inderdaad ook inderdaad een Pool liever aannemen, maar omdat een Poolse familie over het algemeen minder snel een babysitter aanneemt komt dit niet goed uit de verf.
Om een beter overzicht te geven over de situatue kan men dus beter de volgende tabel in de krant plaatsen:
Afkomst Babysitter: Afkomst ouders die aannemen:
nl pool totaal %nl Nederlands 638 60 690 91,6%
Pools 302 456 756 39,8%
totaal 940 516 1446 64,6%
Wat we hieruit kunnen opmaken is dat de Nederlandse gezinnen makkelijker dus babysitters uitmaken, en daarbij prefereren ze dan wel de babysitters van Nederlandse afkomst.
Dus beiden groepen ouders kiest ervoor eerder een babysitter aan te nemen van dezelfde afkomst als zijzelf, maar wat wel een belangrijk feit is, is dat de Nederlanders sneller babysitters aannemen dan Polen.
Dan verklaar ik dit nog tenslotte aan de hand van formules (op dezelfde manier als het artikel doet):
Stel A is de afkomst van de ouders, bij 1 is die Nederlands, bij 2 is die Pools.
Stel B is de afkomst van de babysitter, bij 1 Nederlands en bij 2 Pools.
En tenslotte stel C als wel of niet aangenomen : 1 wel, 2 niet.
en de daarbij horende tabel:
Kans op aangenomen Ouders Babysitter
p (C=1; A=1, B=1) Nederlands Nederlands
p (C=1; A=1, B=2) Nederlands Pools
p (C=1; A=2, B=1) Pools Nederlands
p (C=1; A=2, B=2) Pools Pools
dus volgens de eerdere gegevens van de tabellen is te concluderen dat:
p (C=1; A=1, B=2) > p (C=1; A=1, B=1)
en
p (C=1; A=2, B=2) > p (C=1; A=2, B=1)
door middel van p (E;F) = p(E^F):p(F) volgen dus de volgende ongelijkheden:
p(C=1, A=1, B=2)/p(A=1, B=2) > p(C=1, A=1, C=1)/ p(A=1, B=1)
en
p(C=1, A=2, B=2)/p(A=2, B=2) > p(C=1, A=2, C=1)/ p(A=2, B=1)
Nu voegen we de twee formules bij elkaar:
p(C=1, A=1, B=2)/p(A=1, B=2) + p(C=1, A=2, B=2)/p(A=2, B=2) > p(C=1, A=1, C=1)/ p(A=1, B=1) + p(C=1, A=2, C=1)/ p(A=2, B=1)
hieruit volgt:
p(C=1,B=2)/p(B=2) > p(C=1,B=1)/p(B=1)
en daaruit volgt weer:
p (C=1; B=2) > p (C=1 ; B=1)
Hier staat nu dat de kans dat je wordt aangeomen als je Pool bent groter is dan de kans dan dat je wordt aangenomen als je Nederlander bent.
Hierbij is dus bewezen dat de tabel 1 inderdaad niet klopt! Integendeel juist!
Dit was dan de Yule-Simpson paradox.
Ik ga de pardox aan de hand van een voorbeeld op rekenkundige en niet-rekenkundige wijze uitleggen. Het voorbeeld dat in het artikel wordt gegeven gaat over het aantal doodstraffen die worden toegekent aan blanke en zwarte mensen. Ik zal, om het interessant te houden, een ander voorbeeld geven. Maar eerst vertel ik in het kort wat het voorbeeld in het artikel inhield:
Zoals ik al zei gaat het hier over het aantal doodstraffen dat wordt toegekend aan negeroïde mensen in vergelijking met het aantal doodstraffen dat werd toegekend aan blanke mensen. Wat bleek was dat de meeste doodstraffen werden toegekend aan blanken, met maar liefst 2,4% meer doodstraffen voor blanken dan voor de negeroïde mensen (want een schikbarend verschil...). Maar volgens de heer M. Coon kan men, als je meerdere gegevens in tabellen zet, erachter komen dat de conclusie die je eerder hebt getrokken, dat er GEEN discriminatie optreed, niet helemaal klopt! Wat men namelijk niet vermeld in tabel (1) is namelijk het aspect van de huidskleur van de verdachte en de huidskleur van het slachtoffer, en ook niet die 2 in verhouding met elkaar. Wanneer men dit wel vermeld kunnen we tot de conclusie komen dat er wel degelijk sprake is van discriminatie: als er een zwart slachtoffer is gevallen, krijgt de blanke (als verdachte) nooit doodstraf, maar de zwarte (verdachte) wel vaker. En als het om een blanke slachtoffer gaat, wordt veel vaker de doodstraf gegeven (maakt niet uit welke huidskleur de dader heeft) dan als een zwarte het slachtoffer is.
Hiervoor kan men twee redenen geven: 1. omdat er bij een zwart slachtoffer dus minder vaak de doodstraf wordt gegeven (al is de dader zwart of blank)
2. zwarte verdachten zijn vaker betrokken bij een zaak met een zwart slachtoffer.
De wiskundige uitleg van een Yule-Simpson paradox:
het gaat er in ieder geval om dat als : a/b>c/d en e/f>g/h, er NIET altijd hoeft te gelden dat: a+e/b+f > b+g/d+h.
Nu geef ik een ander voorbeeld met andere cijfers van een Yule-Simpson paradox:
Stel dat er wordt gekeken naar het aannemen van babysitters in België: babysitters van Nederlandse afomst of van Poolse afkomst. In een krant staat de volgende tabel (die dus een Yule-Simpson paradox is) over dit onderwerp:
Afkomst Babysitter: Aangenomen:
Ja Nee totaal % wel aangenomen
Nederlands 80 617 696 11,2%
Pools 66 692 756 8,8%
totaal 146 1309 1452 9,8%
Uit deze tabel kan men concluderen dat de Nederlandse babysitters meer kans hebben om aangenomen te worden dan de Poolse babysitters bij vermende kleinde Belgische kindekes.
Maar toen opeens werd er, na een paar jaar, eindelijk weer een regering gevormd, en publiceerde de nieuwe regering de volgende tabellen over de babysitters van Nederlandse en Poolse afkomst:
Bij deze tabel zijn de kinderkes Nederlands waarop gepast moet worden (waarschijnlijk allemaal ex-Nederlanders die verhuisd zijn naar België, omdat er dan toch eindelijk een regering is in België en in Nederland kwam Geert Wilders aan de macht).
Afkomst Babysitter: Aangenomen:
Ja Nee totaal % wel aangenomen
Nederlands 80 560 638 12,3%
Pools 60 244 302 19,3%
totaal 140 804 940 14,5%
En wat we nu zien is erg merkwaardig: de ouders van Nederlandse afkomst nemen eerder een Poolse babysitter aan voor hun kind, dan een Nederlandse babysitter.
De volgende tabel toont aan wanneer de ouders Pools zijn en naar een babysitter zoeken:
Afkomst Babysitter: Aangenomen:
Ja Nee totaal % wel aangenomen
Nederlands 0 29 29 0%
Pools 3 224 227 1,3%
totaal 3 253 256 1,2%
En wat we hier zien is dat een gezin met Poolse ouders veel eerder een Pool aanneemt dan een Nederlander.
Vervolgens de tabel waarin het om de afkomst van het gezin gaat en de kans dat er uberhaupt wel een babysitter wordt aangenomen:
Afkomst ouders: Zullen aannemen:
Ja Nee totaal % wel aangenomen
Nederlands 138 802 938 14,5%
Pools 7 508 514 1,2%
totaal 145 1310 1452 9,8%
Dus ouders van Nederlandse afkomst zullen uberhaupt sneller een babysitter dan een kieskeurige Poolse familie, die wat zuiniger op hun kinderen zijn. Als we dan terugkijken naar de allereerste tabel zien we dus ook dat een Nederlander wel eerder aangenomen zal worden als babysitter, maar dit is dus (blijkbaar uit tabel 2 &3) alleen maar zo omdat Nederlanders graag Nederlanders aannemen, en sowieso sneller een babysitter aannemen. Een Poolse familie, mag dan inderdaad ook inderdaad een Pool liever aannemen, maar omdat een Poolse familie over het algemeen minder snel een babysitter aanneemt komt dit niet goed uit de verf.
Om een beter overzicht te geven over de situatue kan men dus beter de volgende tabel in de krant plaatsen:
Afkomst Babysitter: Afkomst ouders die aannemen:
nl pool totaal %nl Nederlands 638 60 690 91,6%
Pools 302 456 756 39,8%
totaal 940 516 1446 64,6%
Wat we hieruit kunnen opmaken is dat de Nederlandse gezinnen makkelijker dus babysitters uitmaken, en daarbij prefereren ze dan wel de babysitters van Nederlandse afkomst.
Dus beiden groepen ouders kiest ervoor eerder een babysitter aan te nemen van dezelfde afkomst als zijzelf, maar wat wel een belangrijk feit is, is dat de Nederlanders sneller babysitters aannemen dan Polen.
Dan verklaar ik dit nog tenslotte aan de hand van formules (op dezelfde manier als het artikel doet):
Stel A is de afkomst van de ouders, bij 1 is die Nederlands, bij 2 is die Pools.
Stel B is de afkomst van de babysitter, bij 1 Nederlands en bij 2 Pools.
En tenslotte stel C als wel of niet aangenomen : 1 wel, 2 niet.
en de daarbij horende tabel:
Kans op aangenomen Ouders Babysitter
p (C=1; A=1, B=1) Nederlands Nederlands
p (C=1; A=1, B=2) Nederlands Pools
p (C=1; A=2, B=1) Pools Nederlands
p (C=1; A=2, B=2) Pools Pools
dus volgens de eerdere gegevens van de tabellen is te concluderen dat:
p (C=1; A=1, B=2) > p (C=1; A=1, B=1)
en
p (C=1; A=2, B=2) > p (C=1; A=2, B=1)
door middel van p (E;F) = p(E^F):p(F) volgen dus de volgende ongelijkheden:
p(C=1, A=1, B=2)/p(A=1, B=2) > p(C=1, A=1, C=1)/ p(A=1, B=1)
en
p(C=1, A=2, B=2)/p(A=2, B=2) > p(C=1, A=2, C=1)/ p(A=2, B=1)
Nu voegen we de twee formules bij elkaar:
p(C=1, A=1, B=2)/p(A=1, B=2) + p(C=1, A=2, B=2)/p(A=2, B=2) > p(C=1, A=1, C=1)/ p(A=1, B=1) + p(C=1, A=2, C=1)/ p(A=2, B=1)
hieruit volgt:
p(C=1,B=2)/p(B=2) > p(C=1,B=1)/p(B=1)
en daaruit volgt weer:
p (C=1; B=2) > p (C=1 ; B=1)
Hier staat nu dat de kans dat je wordt aangeomen als je Pool bent groter is dan de kans dan dat je wordt aangenomen als je Nederlander bent.
Hierbij is dus bewezen dat de tabel 1 inderdaad niet klopt! Integendeel juist!
Dit was dan de Yule-Simpson paradox.
woensdag 2 februari 2011
Notatie & structuur
In deze blog ga ik het hebben over fouten in het noteren van wiskundesommen. Hiermee ben ik voor het eerst geconfronteerd in de eerste klas. Want op de basisschool werkte je altijd volgens het "="teken, en als er dan een komma getal bij kwam zei je altijd: "rest"getal. Een stuk milder werd het je toen aangerekent dat je zei dat 1/3 0,33 is. Op de middelbare school zijn ze veel strikter in zulk soort dingen. Daarbij is 1/3=0,33 niet goed gerekend. Meer van zulk soort voorbeelden zal ik in deze blog uitwerken.
Ik begin met een voorbeeld dat uit klas 2 komt:
Eerst even een voorbeeld zoals het helemaal goed zou zijn:
En je wilt hier zijde E2 berekenen.
Ik maakte toen de fout door dit zo te noteren:
Ð E2= 180° - Ð A - Ð B
Dit is uiteraard niet goed, want zo is niet duidelijk of er nou ÐA1, ÐA2 of ÐA1,2 wordt bedoeld.
Daarom had er dus moeten staan:
Ð E2= 180° - Ð A1 - Ð B
Dit is dan veel overzichtelijker voor degene die de som leest. Zo ontstaan er ook geen vergissingen, want als je er snel over heen leest zou je net zo goed heel ÐA kunnen gebruiken, en dan komt Ð E2 niet uit op het goede antwoord.
Ook in de 2e klas (niet veel later dan de vorige) heb ik de volgende fout gemaakt (eigenlijk 2):
Er was weer een driehoek gegeven en ik had berekend dmv. de stelling van pythagoras zijde CD2 34,56 cm was. Een fragment uit deze som
DF2 - CF2 = CD2 (er was een bepaalde driehoek gegeven en dmv Pythagoras ga je dus een zijde berekenen)
60,56 - 36 = 34,56
Ö 34,56 = 5,9 cm
De eerste fout is hier natuurlijk dat het =teken vervangen moet worden door het » teken. Maar hierop heb ik mij niet gericht. De fout die ik opmerkelijk vind is dat steeds bij een nieuwe regel vermeld moet worden waar het omgaat:
DF2 - CF2 = CD2
CD2 = 60,56 - 36 = 34,56
CD=Ö 34,56 » 5,9 cm
Dus het was blijkbaar te onoverzichtelijk om steeds maar door te rekenen, zonder te vermelden over welke zijde het gaat, het kan namelijk net zo goed gaan over een andere zijde in de driehoek.
Daarom moet je steeds CD er voor zetten, anders weet de lezer niet over welke zijde het gaat.
Wat vroeger in de onderbouw streng werd aangerekend, maar nu (in de bovenbouw) niet meer zo erg is het volgende:
Bijvoorbeeld in klas 2 had ik het volgende berekend:
Eigenlijk had er nog een laatste stap genomen moeten worden, en die is:
x=3/8
Nu wordt dit dus minder streng aangerekend, omdat we weten dat x= Ö(9/64) en x= 3/8 hetzelfde is.
Maar in de 2e klas, hadden we waarschijnlijk net het begrip "wortel"gehad, en moesten we klaarblijkelijk nog aantonen dat x= Ö(9/64) en x= 3/8 hetzelfde is.
Nog een keer in de 2e klas (dit schijnt "het jaar van notatiefouten" te zijn) is er ook dit kleine foutje gemaakt:
Nadat ik een hele som heb uitgerekend, heb ik de conclusie opgeschreven hoe groot de cilinder is. Dit deed ik alsvolgt:
"De hoogte van cilinder III is 22,7"
Als je dit zo leest zou je niet zo snel de fout zien. Maar voordat ik de conclusie heb getrokken, zag de laatste berekening er zo uit: 10cm+12,7cm= 22,7cm
Nu zie je de fout waarschijnlijk wel: de"cm"is vergeten op te schrijven aan het eind van de berekening.
Je zou kunnen zeggen: "Dit is toch helemaal niet zo erg, want een regel erboven staat dat het wel cm is".
Maar als ik eerlijk ben snap ik wel hetgene wat hinderlijk kan zijn: Stel er is iemand die snel het antwoord wil zien, om te weten hoe hoog cilinder III is (en die mij dus blindelings vertrouwd op de berekening), dan ziet hij dus dat de cilinder 22,7 is. Maar dan weet hij niet hoeveel 22,7, de eenheid ontbreekt dus, en nu moet diegene helemaal de opgave weer doorlezen om erachter te komen wat de eenheid is en of het wel allemaal wel klopt.
Voor zover weer een deel van mijn portfolio!
Ik begin met een voorbeeld dat uit klas 2 komt:
Eerst even een voorbeeld zoals het helemaal goed zou zijn:
Er wordt gevraagd hoe groot hoek B is.
Dit kan je uiteraard berekenen door: ÐB= 180° -ÐA -ÐC
ÐB = 180°-40°-90°
ÐB = 50°
Maar stel nou dat de opgave er zo uitziet:
Ik maakte toen de fout door dit zo te noteren:
Ð E2= 180° - Ð A - Ð B
Dit is uiteraard niet goed, want zo is niet duidelijk of er nou ÐA1, ÐA2 of ÐA1,2 wordt bedoeld.
Daarom had er dus moeten staan:
Ð E2= 180° - Ð A1 - Ð B
Dit is dan veel overzichtelijker voor degene die de som leest. Zo ontstaan er ook geen vergissingen, want als je er snel over heen leest zou je net zo goed heel ÐA kunnen gebruiken, en dan komt Ð E2 niet uit op het goede antwoord.
Ook in de 2e klas (niet veel later dan de vorige) heb ik de volgende fout gemaakt (eigenlijk 2):
Er was weer een driehoek gegeven en ik had berekend dmv. de stelling van pythagoras zijde CD2 34,56 cm was. Een fragment uit deze som
DF2 - CF2 = CD2 (er was een bepaalde driehoek gegeven en dmv Pythagoras ga je dus een zijde berekenen)
60,56 - 36 = 34,56
Ö 34,56 = 5,9 cm
De eerste fout is hier natuurlijk dat het =teken vervangen moet worden door het » teken. Maar hierop heb ik mij niet gericht. De fout die ik opmerkelijk vind is dat steeds bij een nieuwe regel vermeld moet worden waar het omgaat:
DF2 - CF2 = CD2
CD2 = 60,56 - 36 = 34,56
CD=Ö 34,56 » 5,9 cm
Dus het was blijkbaar te onoverzichtelijk om steeds maar door te rekenen, zonder te vermelden over welke zijde het gaat, het kan namelijk net zo goed gaan over een andere zijde in de driehoek.
Daarom moet je steeds CD er voor zetten, anders weet de lezer niet over welke zijde het gaat.
Wat vroeger in de onderbouw streng werd aangerekend, maar nu (in de bovenbouw) niet meer zo erg is het volgende:
Bijvoorbeeld in klas 2 had ik het volgende berekend:
64x2= 9
x2=(9/64)
x= Ö(9/64)
Hierbij heb ik het gelaten, maar toen werd mij aangerekend dat in de som niet verder heb uitgewerkt:Eigenlijk had er nog een laatste stap genomen moeten worden, en die is:
x=3/8
Nu wordt dit dus minder streng aangerekend, omdat we weten dat x= Ö(9/64) en x= 3/8 hetzelfde is.
Maar in de 2e klas, hadden we waarschijnlijk net het begrip "wortel"gehad, en moesten we klaarblijkelijk nog aantonen dat x= Ö(9/64) en x= 3/8 hetzelfde is.
Nog een keer in de 2e klas (dit schijnt "het jaar van notatiefouten" te zijn) is er ook dit kleine foutje gemaakt:
Nadat ik een hele som heb uitgerekend, heb ik de conclusie opgeschreven hoe groot de cilinder is. Dit deed ik alsvolgt:
"De hoogte van cilinder III is 22,7"
Als je dit zo leest zou je niet zo snel de fout zien. Maar voordat ik de conclusie heb getrokken, zag de laatste berekening er zo uit: 10cm+12,7cm= 22,7cm
Nu zie je de fout waarschijnlijk wel: de"cm"is vergeten op te schrijven aan het eind van de berekening.
Je zou kunnen zeggen: "Dit is toch helemaal niet zo erg, want een regel erboven staat dat het wel cm is".
Maar als ik eerlijk ben snap ik wel hetgene wat hinderlijk kan zijn: Stel er is iemand die snel het antwoord wil zien, om te weten hoe hoog cilinder III is (en die mij dus blindelings vertrouwd op de berekening), dan ziet hij dus dat de cilinder 22,7 is. Maar dan weet hij niet hoeveel 22,7, de eenheid ontbreekt dus, en nu moet diegene helemaal de opgave weer doorlezen om erachter te komen wat de eenheid is en of het wel allemaal wel klopt.
Voor zover weer een deel van mijn portfolio!
Abonneren op:
Reacties (Atom)