R is machtiger dan N

Ik vergat bijna deze opdracht toen het me opeens weer te binnen schoot midden in de vakantie.
Ik ga nu bewijzen dat R machtiger is dan N .

Volgens Cantor zijn er toch verschillen in grootte van onaftelbare verzamelingen.
Zo heeft hij bewezen d.m.v. zijn diagonalen methode dat het aantal reeële getallen machtiger is dan het aantal natuurlijke getallen. Dit zal ik uitleggen.

De diagonale methode werkt zo:

Men neemt een willekeurig aantal reeële getallen (die ook willekeurige kommacijfers hebben -maar die wel tussen de 1 en 0 liggen):

0,46822...
0,28183...
0,35295...
0,72818...
0,10637...

de "..." achter deze reeële getallen staan voor een oneindig aantal getallen.

Ik heb dus nu 5 willekeurige, reeële getallen onder elkaar gezet, wat ik nu doe is deze 5 koppelen aan de natuurlijke getallen:

1     -     0,46822...
2     -     0,28183...
3     -     0,35295...
4     -     0,72818...
5     -     0,10637...

Vervolgens neemt men bij het eerste reeële getal in de rij, het cijfer dat meteen achter de 0, staat (dus 4)
Bij het getal daaronder neemt met het tweede cijfer dat achter de 0, staat (8). Bij het getal daar weer onder het derde getal achter de 0, .... enzovoort.
Deze cijfers achter elkaar doen we achter een nieuwe 0,

Dus kom je nu op een getal van: 0,48217... (de diagonaal)

Wat je nu doet is voor elk decimaal getal achter de komma een ander getal nemen (wat we nu even is doen is elk cijfer verhogen met 1), als het goed is kom je dan op het getal:
0,59328...

Dit getal (0,59328... ) kan nooit in de lijst staan van de reeële getallen die ik hierboven onder elkaar had gezet. Dit getal noemen we m.

Omdat je altijd een nieuwe m kan maken zijn er dus overaftelbare reeële getallen.

Dit betekent dus dat er meer reeële getallen zijn dan natuurlijke getallen. (R is machtiger dan N)

Fijne kerst nog en een gelukkig nieuwjaar!

Wat is het Hilbertshotel

Het Hilberts hotel (opgave 60)
Het Hilberts hotel, bedacht door de Duitse wiskundige David Hilbert (1862-1943)  is een (niet echt bestaand) hotel. Waarvan men zegt dat het pradadoxale eigenschappen heeft. Het hotel heeft oneindig veel kamers, voor oneindig veel gasten.
Maar stel nou dat er oneindig veel gasten aankomen bij het hotel. Volgens  vele sites is het hotel dan vol, want oneindig veel kamers zijn (volgens deze slechte sites :(  ) dan bezet door oneindig veel mensen.
Maar als je het op deze manier beredeneerd kom je erachter dat dat niet waar is:
stel nou dat er bij het oneindig aantal gasten nog een gast arriveert.  De hoteleigenaar (Mein Herr Hilbert) verzet dat de gast in kamer 1 naar kamer 2, en dus de gast die in kamer 2 eerst zat verplaatst hij naar  kamer 3. Zo de hele tijd door.
Dus als dat promoveren van hotelkamers voltooid is (met promoveren bedoel ik dat iedere gast een kamernummer krijgt dat een nummer hoger is dan waar hij al inzat), kan de nieuwe gast in kamer 1 zitten. En omdat er oneindig veel kamers zijn is er geen laatste kamer, dus kan er ook geen gast buitenvallen.
Dus op deze manier kan er ook bijvoorbeeld een bus met 10 nieuwe gasten komen,  wat Mein Herr Hilbert dan doet is gewooon ieder naar een kamer promoveren dat 10 nummers hoger ligt dan waar de gast al in zat.

Wel vind ik een beetje gek dat dus oneindig veel kamers en oneindig veel gasten niet op hetzelfde neer komen. want oneindig veel gasten zou toch eveneveel zijn als oneindig veel kamers? ookal zijn het allebij getallen die dezelfde waarde zouden moeten hebben ookal vallen ze onder het begrip oneindig.

Dus het hotel is een analogie voor het abstracte idee van aftelbaar oneindig veel getallen (met elkaar te vergelijken)


Dit was hert wel weer vandaag.
Fijne vakantie! Maurits

Uitslag Kolb test

Vandaag (12-12-2010) vlak voor de kerstvakantie bedacht ik me dat het misschien wel eens belangrijk kon zijn om wat aan me blog bij te werken.

Als eerste onderwerp die ik ga behandelen is de Kolb-test. Uit de Kolb-test kan je afleiden want voor een soort leertype je bent: Volgens Kolb zijn er vier verschillende leertypes:

* de denker

* de doener

* de observeerder

* de beslisser

De uitslag van de eerste test die ik ondergaan heb op http://www.damhuiselshoutverschure.nl/tests/kolb_leerstijl.pl gaf de volgende afbeelding als uitslag.

Uit deze diagram is dus gebleken dat ik een DOENER ben. Ik moet dus vooral dingen doen en aan de hand daarvan begrijp ik dingen beter. Door dingen te doen vindt je overal wel een logisch verband achter en kan je je goed inbeelden als je een tekst erover leest (na dat je iets gedaan hebt). Door dingen te doen is het ook makkelijker om verbanden te leggen.

Op de volgende site  (http://www.123test.nl/leerstijl/index.php) heb ik ook een Kolb test ingevuld om mijn leerstijl te ontdekken, hieruit kwam:

Je hebt een nadenkende leerstijl.
Dat wil zeggen dat je het liefste leert door goed na te denken. Je gebruikt graag je gezonde verstand en houdt van redeneren. Je analyseert de leerstof aandachtig en probeert de grote verbanden er in te ontdekken. Daardoor kun je goed omgaan met abstracte en, voor anderen vaak onduidelijke, informatie. Omdat je zo slim en kritisch bent, erger je je aan slecht onderbouwde leerstof of docenten wiens verhaal niet sluitend is. Je leerstijl heeft grote voordelen. Je laat je niet verwarren door details, maar blijft oog houden voor het grotere geheel. Daardoor kun jij vaak problemen oplossen die anderen heel moeilijk vinden.

Jouw motto is:
Vertrouw op je gezonde verstand!
Tip: Vertrouw je in álle situaties op de nadenkende leerstijl dan kun je tegen jezelf aanlopen. Bijvoorbeeld in situaties waarin je met je handen moet werken of anderszins actief iets moet doen. Probeer in dat geval even goed te ontspannen. Wees niet te bang om fouten te maken en te improviseren. Je zult ontdekken dat 'doen' leuker is dan je denkt.
Beroep of studie:
Bij deze leerstijl past elke studie en/of beroep waarin je je intellectueel geprikkeld voelt. Denk bijvoorbeeld aan beroepen zoals wiskundige, accountant, journalist of onderzoeker. Bij studie of werk dat te makkelijk voor je brein is, dut jij in.
En verder:
Dat je een nadenkende leerstijl hebt, wil niet zeggen dat je niet op een andere manier kúnt leren of geen andere studies of beroepen kunt doen. Zoals gezegd, beschikken mensen over meerdere leerstijlen. Uit de test kwam dat je minst favoriete stijl de praktische leerstijl is.
Mensen met een praktische leerstijl leren juist het liefst door te doen. Door dingen (met hun handen) uit te proberen, komen zij erachter hoe iets in elkaar steekt en in zijn werk gaat. Ze gaan daarbij vooral op hun gevoel af, zonder meteen heel diep na te denken of te kijken hoe iets moet.

 

 

Dus hieruit blijkt dat ik altijd mijn gezonde verstand gebruik en vooral niet uitga op intuïtie en ook het gevoel heeft een minder grote invloed op mij. Wat er wel in staat , is dat ik me niet snel laat afleiden doot details, maar dit vind ik niet kloppen. Ik heb namelijk wel het idee dat ik snel ben afgeleid door kleine details, vooral als ik die niet begrijp, dan blijf ik op het detail vasthaken terwijl dat helemaal niet relevant is voor de hoofdgedachte van de tekst. In deze test wordt dus duidelijk aangetoond dat ik een DENKER ben.

 

Conclusie:

Aangezien de 2 testen allebij een andere uitslag geven (de ene denker, de andere doener), is het dus duidelijk dat ik in ieder geval geen observeerder of beslisser ben. Dit had ik van te voren al een beetje verwacht, want ik ga nooit echt op mijn gevoel af maar gebruik liever mijn verstand. Wat ik ook merk is dat ik liecver dingen zelf doe (om het beter te begrijpen) dan ernaar te kijken. Als ik iets met me eigen handen doe denk ik er meer bij naar, en helpt het beter om verbanden te bedenken.

En eigenlijk geef ik de voorkeur uit naar de uitslag van een doener in plaats van een denker. Want een denker , beredeneerd de meesten dingen door er goed over na te denken en zijn verstand te gebruiken. De doener natuurlijk door iets te doen. En in dit geval is dingen doen beter dan er goed over na te denken voor mij, want door iets te doen verbreed ik meer mijn oinzicht.

 

Tot zover de eerste opdracht uitgwerkt op de computer en online gezet :)

Maurits

waarom ik deze blog heb aangemaakt

dit moet voor wiskunde, vind ik niet leuk