Het Hilberts hotel (opgave 60)
Het Hilberts hotel, bedacht door de Duitse wiskundige David Hilbert (1862-1943) is een (niet echt bestaand) hotel. Waarvan men zegt dat het pradadoxale eigenschappen heeft. Het hotel heeft oneindig veel kamers, voor oneindig veel gasten.
Maar stel nou dat er oneindig veel gasten aankomen bij het hotel. Volgens vele sites is het hotel dan vol, want oneindig veel kamers zijn (volgens deze slechte sites :( ) dan bezet door oneindig veel mensen.
Maar als je het op deze manier beredeneerd kom je erachter dat dat niet waar is:
stel nou dat er bij het oneindig aantal gasten nog een gast arriveert. De hoteleigenaar (Mein Herr Hilbert) verzet dat de gast in kamer 1 naar kamer 2, en dus de gast die in kamer 2 eerst zat verplaatst hij naar kamer 3. Zo de hele tijd door.
Dus als dat promoveren van hotelkamers voltooid is (met promoveren bedoel ik dat iedere gast een kamernummer krijgt dat een nummer hoger is dan waar hij al inzat), kan de nieuwe gast in kamer 1 zitten. En omdat er oneindig veel kamers zijn is er geen laatste kamer, dus kan er ook geen gast buitenvallen.
Dus op deze manier kan er ook bijvoorbeeld een bus met 10 nieuwe gasten komen, wat Mein Herr Hilbert dan doet is gewooon ieder naar een kamer promoveren dat 10 nummers hoger ligt dan waar de gast al in zat.
Wel vind ik een beetje gek dat dus oneindig veel kamers en oneindig veel gasten niet op hetzelfde neer komen. want oneindig veel gasten zou toch eveneveel zijn als oneindig veel kamers? ookal zijn het allebij getallen die dezelfde waarde zouden moeten hebben ookal vallen ze onder het begrip oneindig.
Dus het hotel is een analogie voor het abstracte idee van aftelbaar oneindig veel getallen (met elkaar te vergelijken)
Dit was hert wel weer vandaag.
Fijne vakantie! Maurits
Geen opmerkingen:
Een reactie posten