R is machtiger dan N

Ik vergat bijna deze opdracht toen het me opeens weer te binnen schoot midden in de vakantie.
Ik ga nu bewijzen dat R machtiger is dan N .

Volgens Cantor zijn er toch verschillen in grootte van onaftelbare verzamelingen.
Zo heeft hij bewezen d.m.v. zijn diagonalen methode dat het aantal reeële getallen machtiger is dan het aantal natuurlijke getallen. Dit zal ik uitleggen.

De diagonale methode werkt zo:

Men neemt een willekeurig aantal reeële getallen (die ook willekeurige kommacijfers hebben -maar die wel tussen de 1 en 0 liggen):

0,46822...
0,28183...
0,35295...
0,72818...
0,10637...

de "..." achter deze reeële getallen staan voor een oneindig aantal getallen.

Ik heb dus nu 5 willekeurige, reeële getallen onder elkaar gezet, wat ik nu doe is deze 5 koppelen aan de natuurlijke getallen:

1     -     0,46822...
2     -     0,28183...
3     -     0,35295...
4     -     0,72818...
5     -     0,10637...

Vervolgens neemt men bij het eerste reeële getal in de rij, het cijfer dat meteen achter de 0, staat (dus 4)
Bij het getal daaronder neemt met het tweede cijfer dat achter de 0, staat (8). Bij het getal daar weer onder het derde getal achter de 0, .... enzovoort.
Deze cijfers achter elkaar doen we achter een nieuwe 0,

Dus kom je nu op een getal van: 0,48217... (de diagonaal)

Wat je nu doet is voor elk decimaal getal achter de komma een ander getal nemen (wat we nu even is doen is elk cijfer verhogen met 1), als het goed is kom je dan op het getal:
0,59328...

Dit getal (0,59328... ) kan nooit in de lijst staan van de reeële getallen die ik hierboven onder elkaar had gezet. Dit getal noemen we m.

Omdat je altijd een nieuwe m kan maken zijn er dus overaftelbare reeële getallen.

Dit betekent dus dat er meer reeële getallen zijn dan natuurlijke getallen. (R is machtiger dan N)

Fijne kerst nog en een gelukkig nieuwjaar!